একটি হুইটস্টোন ব্রীজের চারটি বাহুতে যথাক্রমে 2Ω, 4Ω, 3Ω এবং 9Ω রোধ যুক্ত এছ (নিম্নের চিত্রানুসারে) চতুর্থ বাহুতে কত মানের একটি রোধ কিভাবে যুক্ত করলে ব্রীজটি ভারসাম্য লাভ করবে?

একটি হুইটস্টোন ব্রীজের ভারসাম্যের শর্ত হলো, এর চারটি বাহুর রোধ যদি P, Q, R এবং S হয়, তাহলে ব্রীজটি ভারসাম্য লাভ করবে যখন \( \frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \) হবে।

প্রদত্ত মানগুলো হলো:

    
• প্রথম বাহুর রোধ (P) = \(2\Omega\)
    
• দ্বিতীয় বাহুর রোধ (Q) = \(4\Omega\)
    
• তৃতীয় বাহুর রোধ (R) = \(3\Omega\)
    
• চতুর্থ বাহুর রোধ (S) = \(9\Omega\)

বর্তমান রোধের অনুপাত যাচাই করি:

\( \frac{P}{Q} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{R}{S} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

যেহেতু \( \frac{1}{2} \neq \frac{1}{3} \), ব্রীজটি বর্তমানে ভারসাম্যপূর্ণ নয়।

ব্রীজটিকে ভারসাম্যপূর্ণ করতে হলে চতুর্থ বাহুর রোধের (S) মান পরিবর্তন করতে হবে। ধরা যাক, নতুন কার্যকর রোধ \( S' \)। তাহলে ভারসাম্যের শর্তানুযায়ী:

\( \frac{P}{Q} = \frac{R}{S'} \)

\( \frac{2}{4} = \frac{3}{S'} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{3}{S'} \)

বজ্রগুণ করে পাই:

\( S' = 3 \times 2 \)

\( S' = 6\Omega \)

অর্থাৎ, চতুর্থ বাহুতে মোট কার্যকর রোধ \(6\Omega\) হতে হবে। বর্তমানে চতুর্থ বাহুতে \(9\Omega\) রোধ আছে। যেহেতু কার্যকর রোধের মান কমাতে হবে (\(9\Omega\) থেকে \(6\Omega\)), তাই একটি রোধ \(9\Omega\) এর সাথে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করতে হবে।

ধরি, \(9\Omega\) রোধের সাথে \(R_x\) মানের একটি রোধ সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করা হলো। সমান্তরাল সমবায়ে কার্যকর রোধের সূত্র হলো:

\( \frac{1}{S'} = \frac{1}{S} + \frac{1}{R_x} \)

এখানে, \(S' = 6\Omega\) এবং \(S = 9\Omega\)। মান বসিয়ে পাই:

\( \frac{1}{6} = \frac{1}{9} + \frac{1}{R_x} \)

\( \frac{1}{R_x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} \)

ডান পাশের ভগ্নাংশগুলোকে সাধারণ হর ১৮ দিয়ে বিয়োগ করি:

\( \frac{1}{R_x} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} \)

\( \frac{1}{R_x} = \frac{3-2}{18} \)

\( \frac{1}{R_x} = \frac{1}{18} \)

সুতরাং,

\( R_x = 18\Omega \)

অতএব, চতুর্থ বাহুতে \(9\Omega\) রোধের সাথে \(18\Omega\) মানের একটি রোধ সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করলে ব্রীজটি ভারসাম্য লাভ করবে।